лекция "Форматы представления чисел"

Для хранения чисел в памяти компьютера используется два формата: целочисленный и с плавающей точкой (точка — разделительный знак для целой и дробной части числа).

Рис. 1. Форматы представления чисел в компьютере

Целочисленный формат (формат с фиксированной точкой) используется для представления в компьютере целых (англ. integer) положительных и отрицательных чисел. Для этого, как правило, используются форматы, кратные байту: 1, 2, 4 байта.

Однобайтовое представление применяется только для положительных целых чисел. В этом формате отсутствует знаковый разряд. Наибольшее двоичное число, которое может быть записано при помощи 1 байта, равно 11111111, что в десятичной системе счисления соответствует числу 25510. Поэтому, выбирая, например, для счетчика однобайтный формат, следует помнить, что такой счетчик не может принимать значения большие, чем 255₁₀

Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется 2 и 4 байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: 0 — плюс, 1 — минус.

Самое большое (по модулю) целое число со знаком, которое может поместиться в 2-байтовом формате, это число

О 1111111 11111111,

то есть при помощи подобного кодирования можно представить числа от -32 768₁₀ до 32 767₁₀.

Обратите внимание!
Если число вышло за указанные границы, произойдет переполнение! Поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта.

Формат с плавающей точкой используется для представления в компьютере действительных чисел (англ. real). Числа с плавающей точкой размещаются, как правило, в 4 или 8 байтах.

Представление целого положительного числа в компьютере

Для представления целого положительного числа в компьютере используется следующее правило:

♦ число переводится в двоичную систему;
♦ результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
♦ последний разряд слева является знаковым, в положительном числе он равен 0.

Например, положительное число +135₁₀ в зависимости от формата представления в компьютере будет иметь следующий вид:

♦ для формата в виде 1 байта — 10000111 (отсутствует знаковый разряд);
♦ для формата в виде 2 байтов — 0 0000000 10000111;
♦ для формата в виде 4 байтов — 0 0000000 00000000 00000000 10000111.

Представление целого отрицательного числа в компьютере

Для представления целого отрицательного числа в компьютере используется дополнительный код. Такое представление позволяет заменить операцию вычитания числа операцией сложения с дополнительным кодом этого числа. Знаковый разряд целых отрицательных чисел всегда равен 1.

Для представления целого отрицательного числа в компьютере используется следующее правило:

♦ число без знака переводится в двоичную систему;
♦ результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
♦ полученное число переводится в обратный код (нули заменяются единицами, а единицы — нулями);
♦ к полученному коду прибавляется 1.

Отрицательное число может быть представлено в виде 2 или 4 байт. Например, представим число -135₁₀ в 2-байтовом формате:

♦ 135₁₀ —> 10000111 (перевод десятичного числа без знака в двоичный код);
♦ 0 0000000 10000111 (дополнение двоичного числа нулями слева в пределах формата);
♦ 0 0000000 10000111 —> 1 1111111 01111000 (перевод в обратный код);
♦ 1 1111111 01111000 —> 1 1111111 01111001 (перевод в дополнительный код).

Представление вещественного (действительного) числа в компьютере

Вещественное число может быть представлено в экспоненциальном виде, например:

16000000₁₀ = 0,16*10⁸

-0,0000156₁₀ = -0,156*10^-4

В этом формате вещественное число представляется в виде произведения мантиссы {m) и основания системы счисления в целой степени , называемой порядком. Представим это в общем виде, как:

R = m*Рn.

Порядок п указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться в мантиссе точка (запятая), отделяющая дробную часть от целой. Мантисса, как правило, нормализуется, то есть представляется в виде правильной дроби 0 < m < 1.

При представлении в компьютере действительного числа с плавающей точкой тоже используется нормализованная мантисса и целый порядок. И мантисса и порядок представляются в двоичном виде, как это было описано выше.

Для размещения вещественного числа обычно используется 2 или 4 байта.

В 2-байтовом формате представления вещественного числа первый байт и три разряда второго байта выделяются для размещения мантиссы, в остальных разрядах второго байта размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

В 4-байтовом формате представления вещественного числа первые три байта выделяются для размещения мантиссы, в четвертом байте размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.